Даны координаты точек A1 -4 2 B-3 0 6

Предварительно найдем:
Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = -3-1; Y = 0-(-4); Z = 6-2
AB(-4;4;4)
AC(-5;5;6)
AD(-2;4;0)
BC(-1;1;2)
BD(2;0;-4)
CD(3;-1;-6)
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
|a|=X2 + Y2 + Z2
|AB|=42 + 42 + 42=48=6.928
|AC|=52 + 52 + 62=86=9.274
|AD|=22 + 42 + 02=20=4.472
|BC|=12 + 12 + 22=6=2.449
|BD|=22 + 02 + 42=20=4.472
|CD|=32 + 12 + 62=46=6.782
а) Угол между ребрами.
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
cos γ=a1a2|a1|∙|a2|
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами AB(-4;4;4) и BC(-1;1;2):
cos γ=(-4)∙(-1) + 4∙1 + 4∙248∙6=0.943
γ = arccos(0.943) = 19.4720
б) Площадь грани.
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S=12∙|AB × AC|
Векторное произведение:
ijk-444-556=
=i(4∙6-5∙4) - j((-4)∙6-(-5)∙4) + k((-4)∙5-(-5)∙4) = 4i + 4j
S=12|AB × AC|=12|4i + 4j|=1242 + 42 + 02=1232=2.828
в) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
V=16 X1Y1Z1X2Y2Z2X3Y3Z3
Координаты векторов
AB(-4;4;4)
AC(-5;5;6)
AD(-2;4;0)
V=16 -444-556-240=86=1.333
где определитель матрицы равен:
∆ = (-4)∙(5∙0-4∙6)-(-5)∙(4∙0-4∙4)+(-2)∙(4∙6-5∙4) = 8
г) высоту, опущенную из вершины D на сторону AB
Найдем проекцию точки D на прямую АВ и составим уравнение высоты, как уравнение прямой, проходящей через две точки.
Чтобы найти проекцию точки D на прямую AB нужно:
найти плоскость α, проходящей через точку D препендинулярной прямой AB
найти точку H, которая является пересечением плоскости α с прямой AB.
Точка H будет проекцией точки D на прямую AB.
Уравнение плоскости α, проходящей через точку D(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:
A ·
x − x0
+ B ·
y − y0
+ C ·
z − z0
=0
(2)
Направляющий вектор прямой AB имеет следующие координаты:
q0={m0, p0, l0}={−4, 4, 0} (3)
Для того, чтобы плоскость (2) была перпендикулярна прямой (1), нормальный вектор n={A, B, C} плоскости (2) должен быть коллинеарным направляющему вектору (3) прямой (1) . Поэтому в качестве нормального вектора плоскости (2) можно взять вектор {m0, p0, l0}={−4, 4, 0}