Исследовать на экстремум функцию z=yx-2y2-x+14y

Найдем критические точки
zx'=y2x-1
zy'=x-4y+14
zx'=0zy'=0⟹y=2xx-4y+14=0⟹y=2xy-8y+28=0⟹x=4y=4
Проверим достаточное условие экстремума в точке M(4;4):
zxx''=y2x-1x'=-y4x3
zxx''M=-18
zyy''=(x-4y+14)y'=-4
zyy''M=-4
zxy''=y2x-1y'=12x
zxy''(M)=14
zxx''Mzyy''(M)-zxy''(M)2=12-14=14
zxx''Mzyy''(M)-zxy''(M)2>0,
Следовательно, в точке M имеется экстремум функции.
zxx''M<0,
Следовательно, в точке M максимум функции.
Ответ:
В точке M(4;4) имеется максимум функции.