Исследовать ряды на сходимость а) n=1∞7n2nn

А) n=1∞7n2nn
an=7n2nn
an+1=7n+12n+1n+1
Используем признак сходимости Даламбера:
limn→∞an+1an=limn→∞7n+12n+1n+17n2nn=limn→∞7n+1*2nn2n+1n+1*7n=limn→∞7n*7*2nn2n*2n+1*7n=limn→∞7n2n+1=72>1
Следовательно, ряд расходится.
б) n=1∞13n2+2
Используем первый признак сравнения .
Сравним данный ряд с рядом n=1∞13n2, который расходится
limn→∞anbn=limn→∞13n2+213n2=limn→∞3n23n2+2=1
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом  n=1∞13n2.
в) n=1∞n+34n-1n
Используем радикальный признак сходимости Коши:
limn→∞nan=limn→∞nn+34n-1n=limn→∞n+34n-1=∞∞=limn→∞nn+3n4nn-1n=limn→∞1+3n→04-1n→0=14<1
Следовательно, ряд сходится
г) n=1∞n+12n+1
limn→∞an=limn→∞n+12n+1=∞∞=limn→∞nn+1n2nn+1n=limn→∞1+1n→02+1n→0=12≠0
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.