Компоненты ξ η дискретного случайного вектора

Запишем закон распределения случайного вектора (ξ, η)
η
ζ 0 1 2 3
-1 р11 р12 р13 р14
0 р21 р22 р23 р24
1 р31 р32 р33 р34
р11=0,2⋅0,2=0,04 р21=0,5⋅0,2=0,1
р12=0,2⋅0,4=0,08 р22=0,5⋅0,4=0,2
р13=0,2⋅0,3=0,06 р23=0,5⋅0,3=0,15
р14=0,2⋅0,1=0,02 р24=0,5⋅0,1=0,05
р31=0,3⋅0,2=0,06 р32=0,3⋅0,4=0,12
р33=0,3⋅0,3=0,09 р34=0,3⋅0,1=0,03
Получаем, что
η
ζ 0 1 2 3 ∑
-1 0,04 0,08 0,06 0,02 0,2
0 0,1 0,2 0,15 0,05 0,5
1 0,06 0,12 0,09 0,03 0,3
∑ 0,2 0,4 0,3 0,1 1
Найдем закон распределения случайной величины θ1 =ξ +η
Так как случайная величина θ1 равна сумме компонентов ξ и η, то случайная величина θ1 может принимать следующие значения: -1 (-1+0), 0 (-1+1=0+0), 1 (-1+2=0+1=1+0), 2 (-1+3=0+2=1+1), 3 (0+3=1+2) и 4 (1+3).
Составим таблицу
θ1
-1 0 1 2 3 4
pi
p1
p2
p3
p4
p5
p6
Вычислим pi:
p1=Pθ1=-1=Pξ=-1,η=0=0,2∙0,2=0,04
p2=Pθ1=0=Pξ=-1,η=1+Pξ=0,η=0=0,2∙0,4+0,5∙0,2=
=0,08+0,1=0,18
p3=Pθ1=1=Pξ=-1,η=2+Pξ=0,η=1+Pξ=1,η=0=
=0,2∙0,3+0,5∙0,4+0,3∙0,2=0,06+0,2+0,06=0,32
p4=Pθ1=2=Pξ=-1,η=3+Pξ=0,η=2+Pξ=1,η=1=
=0,2∙0,1+0,5∙0,3+0,3∙0,4=0,02+0,15+0,12=0,29
p5=Pθ1=3=Pξ=0,η=3+Pξ=1,η=2=
=0,5∙0,1+0,3∙0,3=0,05+0,09=0,14
p6=Pθ1=4=Pξ=1,η=3=0,3∙0,1=0,03
Закон распределения случайной величины θ1 =ξ +η имеет вид:
θ1
-1 0 1 2 3 4
pi
0,04
0,18
0,32
0,29
0,14
0,03
Контроль: pi=0,04+0,18+0,32+0,29+0,14+0,03=1
Найдем закон распределения случайной величины θ2 =ξ η
Так как случайная величина θ2 равна произведению компонентов ξ и η, то случайная величина θ2 может принимать следующие значения: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Составим таблицу
θ2
-3 -2 -1 0 1 2 3
pj
p1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
Вычислим pj:
p1=Pθ2=-3=Pξ=-1,η=3=0,2∙0,1=0,02
p2=Pθ2=-2=Pξ=-1,η=2=0,2∙0,3=0,06
p3=Pθ2=-1=Pξ=-1,η=1=0,2∙0,4=0,08
p4=Pθ2=0=Pξ=-1,η=0+Pξ=0,η=0+Pξ=0,η=1
+Pξ=0,η=2+Pξ=0,η=3+Pξ=1,η=0=
=0,2∙0,2+0,5∙0,2+0,5∙0,4+0,5∙0,3+0,5∙0,1+0,3∙0,2=0,6
p5=Pθ2=1=Pξ=1,η=1=0,3∙0,4=0,12
p6=Pθ2=2=Pξ=1,η=2=0,3∙0,3=0,09
p7=Pθ2=3=Pξ=1,η=3=0,3∙0,1=0,03
p6=Pθ1=4=Pξ=1,η=3=0,3∙0,1=0,03
Закон распределения случайной величины θ2 =ξ η имеет вид:
θ2
-3 -2 -1 0 1 2 3
pj
0,02 0,06 0,08 0,6 0,12 0,09 0,03
Контроль: pj=0,2+0,06+0,08+0,6+0,12+0,09+0,03=1