Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''+6y'+13y=0. Для этого составим характеристическое уравнение 2+6y+13=0 и найдём его корни 1 -3-2i, 2 -3+2i. Общее решение однородного уравнения будет
yo.0=C1e-3xcos2x+C2e-3xsin2x.
Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''-2y'+5y=10e-xcos2x. Для этого составим характеристическое уравнение 2-2+5 =0 и найдём его корни
1 1-2i, 2 1+2i . Общее решение однородного уравнения будет
yo=C1excos2x+C2exsin2x.
Правая часть уравнения имеет вид: fx=e-3xcos4x.
Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части:
yч..=e-3xAcos4x+Bsin4x Подставим yч..,yч..',yч..'' в данное неоднородное уравнение:
yч..'=e-3x-4Asin4x+4Bcos4x-3e-3xAcos4x+Bsin4x=
=4B-3Acos4x-3B-4Asin4xe-3x
yч.''=-34B-3Acos4x-3B-4Asin4x-44B-3Asin4x-43B-4Acos4x=
=-24B-7Acos4x+24A-7Bsin4xe-3x
1361yч..=e-3xAcos4x+Bsin4xyч..'=e-3x4B-3Acos4x-3B-4Asin4xyч.''=e-3x-24B-7Acos4x+24A-7Bsin4x
----------------------------------------------------------------------
e-3x-24B-7Acos4x+24A-7Bsin4x+6e-3x4B-3Acos4x-3B-4Asin4x+13e-xe-3xAcos4x+Bsin4x=e-3xcos4x
-12Bsin4x-12Ae-3xcos4x=e-3xcos4x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-128A=1-12B=0=>A=-112, B=0.
Тогда
yч