X=4cos3ty=4sin3t 0 ≤ t ≤π2 Астроида изображена на рисунке 3

Длина дуги астроиды:
L = t1t2(xt')2+yt'2dt.
(xt)' = 4*3cos2t *(cost)'= - 12*cos2t*sint,
(yt)' = 12sin2t *(sint)'= 12*sin2t*cost.
Найдём (xt')2+yt'2.
(- 12*cos2t*sint)2 + (12*sin2t*cost)2 = 144*cos4t*sin2t + 144*sin4t*cos2t =
= 144*sin2t*cos2t*(sin2t + cos2t) = 144*sin2t*cos2t.
0π2144*sin2t*cos2t dt=0π21444*sin2t dt= 60π2sin22t dt=
=60π2sin2t dt = - 3*cos2t + C.
F(b) – F(a) = - 3*(cosπ – cos0) = -3*-2 = 6.
Ответ: L = 6.