Найти общее решение дифференциального уравнения xy'+5y=sinxx4

Разрешим уравнение относительно производной у :
y’=-5yx+sinxx5
Данное уравнение линейное, найдём его общее решение методом Бернулли. Сделаем подстановку y=ux∙vx, y'=u'∙v+u∙v'. Подставим выражения для y и y в заданное уравнение:
u'∙v+u∙v'+5uvx=sinxx5
v∙u'+5ux+u∙v'=sinxx5*
Найдём функцию u как частное решение уравнения u'+5ux=0 . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
duu=-5dxx,
duu=-5dxx,
lnu=-5lnx=>u=x-5.
Подставляя найденную функцию u=x-5в уравнение (*), получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдём функцию v x :
v'x-5=sinxx5=>v'=sinx
v=sinxdx=-cosx+C.
Учитывая, что y uv , получим общее решение исходного уравнения
yx-5-cosx+C=-cosx+Cx-5