Найти стационарное распределение температуры в прямоугольной пластине размером 4×1

Имеем следующую задачу:
∂2ux,y∂x2+∂2ux,y∂y2=0;0<x<4,0<y<1u0;y=0;u4,y=0 ux;0=0;ux,1=x2
Решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,y=X(x)Y(y)
При этом функция X(x) зависит только от x, а Y(y) – только от y.
В этом случае:
u''xx=X''(x)Y(y);u''yy=X(x)Y''(y)
Подставляем в уравнение:
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0
Разделяем переменные:
-Y''(y)Yy=X''(x)Xx
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа (обозначим -λ2):
-Y''yYy=X''xXx=-λ2
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
Y''y-λ2Yy=0X''x+λ2Xx=0
Уравнения Y''y+λ2Yy=0; X''x-λ2Xx=0 есть обыкновенные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами . Его общее решение имеет вид:
а) λ2=0 Yy=c1y+c2;Xx=c3x+c4;
Получаем:
ux,y=(c1y+c2)(c3x+c4)
Пробуем удовлетворить начальным условиям u0;y=0;u4,y=0:
c1y+c2c4=0c1y+c24c3+c4=0
Поскольку ищем ненулевые решения (Y(y)≠0), то из первого уравнения:
c4=0
Подставляя во второе (опять же ищем Y(y)≠0), имеем только нулевые решения, а поскольку это не удовлетворяет условиям, то λ2=0 отбрасываем.
б) λ2<0 Xx=c1eλx+c2e-λx;Yy=c3cosλy+c4sinλy;
Получаем:
ux,y=(c1eλx+c2e-λx)(c3cosλy+c4sinλy)
Пробуем удовлетворить начальным условиям u0;y=0;u4,y=0:
c1+c2c3cosλy+c4sinλy=0(c1e4λ+c2e-4λ)(c3cosλy+c4sinλy)=0
Поскольку ищем ненулевые решения (Y(y)≠0), то из первого уравнения:
c2=-c1
Подставляем во второе (опять же ищем Y(y)≠0):
c1e4λ-c1e-4λ=0 c1e4λ-e-4λ=0
Поскольку c1≠0 (иначе имеем нулевое решение), то e4λ-e-4λ=0, что возможно только при λ=0, поэтому λ2<0 отбрасываем.
в) λ2>0 Xx=c1cosλx+c2sinλx;Yy=c3eλy+c4e-λy.
Получаем:
ux,y=(c1cosλx+c2sinλx)(c3eλy+c4e-λy)
Пробуем удовлетворить начальным условиям u0;y=0;u4,y=0:
c1c3eλy+c4e-λy=0(c1cos4λ+c2sin4λ)c3eλy+c4e-λy=0
Поскольку ищем ненулевые решения (Y(y)≠0), то из первого уравнения:
c1=0
Подставляем во второе (опять же ищем Y(y)≠0):
c2sin4λ=0 4λ=πn λ=πn4
Т.е