Плотности распределения независимых величин ξ

Найдем распределение случайной величины 2ξ. Ее функция распределения:
F2ξx=P2ξ<x=Pξ<x2=Fξx2
Дифференцируя, получаем плотность распределения:
p2ξx=ddxFξx2=12pξx2=e-x,x>00,x≤0
Аналогично для случайной величины 3η получаем:
p3ηx=13pηx3=e-x,x>00,x≤0
Т.е . 2ξ,3η – независимые случайные величины с показательным распределением E(1). Находим характеристическую функцию:
φ2ξt=φ3ηt=0∞e-xeitxdx=0∞eit-1xdx=1it-1eit-1x0∞=11-it
Учитывая, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин рана произведению характеристических функция слагаемых, то искомая характеристическая функция:
φ2ξ+3ηt=1(1-it)2
Моменты k-го порядка случайной величины можно найти, используя характеристическую функцию:
M2ξ+3ηk=-ikdkdtkφ2ξ+3ηtt=0=-ik∙dkdtk11-it2t=0=
=-ik∙ik∙k+1!1-itk+2t=0=k+1!
В общем случае плотность распределения можно найти как обратное преобразование Фурье от характеристической функции, но здесь удобнее воспользоваться формулой свертки для отыскания распределения суммы 2ξ+3η:
p2ξ+3ηx=0xe-z∙e-x-zdz=e-x0xdz=xe-x