Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2-2k+10=0
D=4-4*1*10=4-40=-36
k1=2-6i2=1-3i
k2=1+6i2=1+3i
Так как получились сопряжённые комплексные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1exsin3x+C2excos3x
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Asin3x+Bcos3x
Найдём первую и вторую производные от данного выражения:
y'=3Acos3x-3Bsin3x
y''=-9Asin3x-9Bcos3x
Подставляем в исходное уравнение:
-9Asin3x-9Bcos3x-6Acos3x+6Bsin3x+10Asin3x+10Bcos3x=4cos3x
Приведём подобные слагаемые в левой части:
Asin3x+Bcos3x-6Acos3x+6Bsin3x=4cos3x
Получаем систему уравнений:
A+6B=0-6A+B=4→A=-6B36B+B=4→A=-6B37B=4→A=-6*437=-2437B=437
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=-2437sin3x+437cos3x
Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1exsin3x+C2excos3x-2437sin3x+437cos3x
Ответ: y=C1exsin3x+C2excos3x-2437sin3x+437cos3x