Решить волновое уравнение с нулевыми граничными условиями методом разделения переменных Фурье

Имеем следующую задачу:
∂2u∂t2=9∂2u∂x2,0<x<2,t>0
u0,t=0;u2,t=0
ux,0=fx=2-xx, ∂ux,0∂t=2
Согласно методу Фурье решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
При этом функция X(x) зависит только от x, а T(t) – только от t.
Подставляем в уравнение:
XxT''t=9X''(x)T(t)
Разделяем переменные:
T''(t)9Tt=X''(x)Xx
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа (обозначим λ):
T''(t)9Tt=X''(x)Xx=λ
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T''t-9λTt=0
Граничные условия X0Tt=0 и X2Tt=0 дают X0=X2=0, т.е. ищем ненулевые решения уравнения X''x-λXx=0 - обыкновенного линейного дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами . Его характеристическое уравнение: k2-λ=0
Рассмотрим возможные случаи:
а) λ=0 Xx=c1x+c2
Условия X0=X2=0 дают только тривиальное решение c1=c2=0, т.е. X(x)≡0, поэтому λ=0 отбрасываем.
б) λ>0 Xx=c1eλx+c2e-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X2=0:
c1+c2=0c1e2λ+c2e-2λ=0
Получаем опять же c1=c2=0, поэтому λ>0 отбрасываем.
в) λ<0 Xx=c1cos-λx+c2sin-λx.
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X2=0:
c1cos0+c2sin0=0c1cos2-λ+c2sin2-λ=0 c1=0c2sin2-λ=0
Тогда:
c2sin2-λ=0 2 -λ=πn λ=-π2n24,n=1,2,…
Т.е. получили собственные функции вида:
Xn(x)=cnsinπn2x
Возвращаемся к уравнению T''t-9λTt=0