Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4

А) Найдём уравнение плоскости A1A2A3 по следующей формуле:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Используя координаты заданных точек, получаем:
x-7y-7z-3-1-25-4-25=0
Раскроем определитель и получим общее уравнение плоскости:
x-7y-7z-3-1-25-4-25=x-7*-25-25-y-7*-15-45+z-3*-1-2-4-2=x-7*-2*5--2*5-y-7*-1*5--4*5+z-3*-1*-2--4*-2=x-7*-10+10-y-7*-5+20+z-3*2-8=x-7*0-y-7*15+z-3*-6=-15y+105-6z+18=-15y-6z+123=0
Упростим, разделим обе части уравнения на 3, получим:
-5y-2z+41=0
Вектор нормали данной плоскости выглядит так:
n=0;-5;-2
б) Найдём каноническое уравнение данной прямой, используя следующие равенства:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
Тогда получаем:
x-71=y-7-3=z-3-2
в) Так как высота, опущенная из вершины A4 на плоскость A1A2A3, к ней перпендикулярна, то нормальный вектор этой плоскости будет параллелен высоте, поэтому его можно принять за направляющий вектор . Тогда искомое уравнение высоты выглядит так:
x-80=y-4-5=z-1-2
г) Cначала найдём координаты вектора A1A4:
A1A4=8-7;4-7;1-3=(1;-3;-2)
Тогда, зная нормальный вектор плоскости A1A2A3, получаем:
sinφ=0*1+-5*-3+-2*(-2)02+-52+-22*12+-32+-22=1929*14≈0,943
Тогда:
φ=arcsin(0,943)≈70,564°
д) Найдём площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведение векторов:
SA1A2A3=12*A1A2×A1A3
Сначала найдём координаты данных векторов:
A1A2=6-7;5-7;8-3=-1;-2;5
A1A3=3-7;5-7;8-3=(-4;-2;5)
Теперь найдём векторное произведение векторов:
A1A2×A1A3=ijk-1-25-4-25=i*-25-25-j*-15-45+k*-1-2-4-2=i*-2*5--2*5-j*-1*5--4*5+k*-1*-2--4*-2=i*-10+10-j*-5+20+k*2-8=-15j-6k
Найдём модуль векторного произведения:
A1A2×A1A3=-152+-62=225+36=261
Тогда искомая площадь грани равна:
SA1A2A3=12*A1A2×A1A3=12*261
е) Объём пирамиды найдём по следующей формуле:
V=16*abc
Найдём смешанное произведение векторов:
A1A2*A1A3*A1A4=-1-25-4-251-3-2=-1*-25-3-2+2*-451-2+5*-4-21-3=-1*-2*-2--3*5+2*-4*-2-1*5+5*-4*-3-1*-2=-1*4+15+2*8-5+5*12+2=-19+2*3+5*14=-19+6+70=57
Тогда искомый объём пирамиды равен:
V=16*57=576=192=9,5