Определить круг сходимости степенного ряда

Воспользуемся признаком Даламбера:
q=limn→∞z-2+2in+13n+1∙(n+1)3+1z-2+2in3n∙n3+1=
=limn→∞z-2+2in3+13(n+1)3+1=z-2+2i3
Т.к. ряд сходится при q<1, то круг сходимости z-2+2i<3.
На самой окружности z-2+2i=3, ряд составленный из модулей:
n=1∞1n3+1
Сходится, т.к . 1n3+1~1n32 при n→∞, а ряд n=1∞1n32 сходится как гармонический. Значит, на окружности исходный ряд сходится абсолютно.
Представим круг сходимости на рисунке (z=x+iy) и отметим на рисунке точки z1=0,z2=2+i,z3=-1-3i:
Определим сходимость в указанных точках:
- в точке z1=0 ряд сходится - точка внутри круга сходимости;
- в точке z2=2+i ряд сходится абсолютно на границе круга сходимости;
- в точке z3=-1-3i ряд расходится - точка вне круга сходимости.